证明:8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3=3(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)

题目

证明:8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3=3(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)

答案

证明：∵8(a+b+c)³-(b+c)³利用公式可知有因式2(a+b+c)-(b+c)=2a+b+c
又∵-(c+a)³-(a+b)³=-[(c+a)³+(a+b)³]有因式(c+a)+(a+b)=2a+b+c
故：2a+b+c是原式左边的公因式
同理：a+2b+c,a+b+2c也都是原式左边的公因式
∴8(a+b+c)³-(b+c)³-(c+a)³-(a+b)³=M(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)
令a=1,b=1,c=0
则：8·2³·2³·2³=M·3·3·2
M=3
∴左边=3(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)