如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内． 求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°； （2）PA=PQ．

题目

如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；
（2）PA=PQ．

答案

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形．
∴∠ABC=∠BCD=90°．（1分）
∵△PBC和△QCD是等边三角形．
∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．（1分）
∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，（1分）
∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．
∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．
∴∠PBA=∠PCQ=30°．（1分）
（2）∵AB=DC=QC，∠PBA=∠PCQ，PB=PC．（1分）
∴△PAB≌△PQC．（2分）
∴PA=PQ．（1分）