已知函数f（x）=kx3-4x2-8在区间[2，8]上是单调函数，求实数k的取值范围．

题目

已知函数f（x）=kx³-4x²-8在区间[2，8]上是单调函数，求实数k的取值范围．

答案

∵f（x）=kx³-4x²-8
∴f'（x）=3kx²-8x
∵f（x）在[2，8]上单调
∴在[2，8]上f'（x）≥0或f'（x）≤0
若f'（x）≥0即3kx²-8x≥0成立，
则k≥

8

3x

∴k≥

4

3

若f'（x）≤0即3kx²-8x≤0成立
则k≤

8

3x

∴k≤

1

3

综上所示，k的取值范围为(−∞，

1

3

]∪[

4

3

，+∞)．

先求导函数f'（x），函数f（x）=kx³-4x²-8在区间[2，8]上是单调函数转化成在[2，8]上f'（x）≥0或f'（x）≤0
恒成立，利用分离参数法分离出k，转化成恒成立问题，从而求出实数k的取值范围．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．