已知函数f(x)=lnx+a/x ,若函数f(x)在[1,e]上的最小值是2/3,求a的值

题目

已知函数f(x)=lnx+a/x ,若函数f(x)在[1,e]上的最小值是2/3,求a的值
已知函数f(x)=lnx+a/x
(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间
（2）若函数f(x)在[1,e]上的最小值是2/3,求a的值

答案

这道题应该是在考察导数的运用.
求导,得：f'(x)=1/x-a/x2=0,解得x=a；当xa时,f'(x)>0,原函数为增函数,所以x=a为其最小值点.
当a属于[1,e]时,x=a为其最小值点,则f(a)=lna+a/a=lna+1=2/3,解得a=e-1/3,可知此时a<1,与前面的区间条件矛盾,此解舍去,a不属于[1,e]；
故在[1,e]上f'(x)不等于0,因此f(1)=ln1+a/1=a,f(e)=lne+a/e=a/e+1,
若a<1,原函数在[1,e]为增函数,此时f(1)=a为最小值2/3,则a=2/3符合题意和假设；
若a>e,原函数在[1,e]为减函数,此时f(e)=a/e+1为最小值2/3,则a=-e/3不符合假设,舍去此解；
综上,可知a=2/3.