如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,求证:AE=EF+BF.

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,求证:AE=EF+BF.

题目
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,求证:AE=EF+BF.
答案
证明:∵AE⊥CD,
∴∠AEC=90°,
∴∠ACE+∠CAE=90°,(直角三角形两个锐角互余)
∵∠ACE+∠BCF=90°,
∴∠CAE=∠BCF,(等角的余角相等)
∵AE⊥CD,BF⊥CD,
∴∠AEC=∠BFC=90°,
在△ACE与△CBF中,
∠AEC=∠BFC
∠CAE=∠BCF
AC=BC

∴△ACE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,CE=BF,
∴AE=EF+BF.
根据等腰直角三角形的性质得出∠CAE=∠BCF,又因为AC=BC,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,根据AAS证明△ACE≌△CBF,根据全等三角形的性质与等量关系即可得出结论.

全等三角形的判定与性质.

本题主要考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质,难度适中.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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