在各项为正的等比数列{an}中,首项a1=1/2,数列{bn}=log1/2an(1/2为log的底),且b1+b2+b3=6.
题目
在各项为正的等比数列{an}中,首项a1=1/2,数列{bn}=log1/2an(1/2为log的底),且b1+b2+b3=6.
(1)求数列{an}的通项公式.(2)求证:a1b1+a2b2+.+anbn
答案
(1)b1+b2+b3=log1/2 (a1a2a3)=6 ,所以a1a2a3=(1/2)^6
又an是等比数列,所以a1a3=(a2)² 故(a2)³=(1/2)^6 得 a2=(1/2)²=1/4
所以公比q=a2/a1=1/2
故an=a1q^(n-1)=(1/2)^n
(2)bn=log1/2an=log1/2 【(1/2)^n】=n
所以anbn=n*(1/2)^n
a1b1+a2b2+.+anbn=1(1/2)+2(1/2)^2+3(1/3)^3+n(1/2)^n ①
1/2(a1b1+a2b2+.+anbn)=1(1/2)^2+2(1/2)^3+3(1/3)^4+n(1/2)^(n+1) ②
①-②得
1/2(a1b1+a2b2+.+anbn)=1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/3)^4+(1/2)^n-n(1/2)^(n+1)
=1/2 ×(1-(1/2)^n)/(1-1/2)-n(1/2)^(n+1)
=1-(1/2)^n-n(1/2)^(n+1)<1
所以a1b1+a2b2+.+anbn
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点
- 计算 根号24乘(负根号三分之二+三倍根号六分之五+根号5)
- 这袋大米用去百分之40后,剩下的比用去的多10千克.这袋大米原来重多少千克?
- 数学中充分条件和必要条件的理解
- 三角形加圆形=300,三角形=4个圆形相加,求三角形、圆形各是多少?
- 学校运动队有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的有4人.想一想,算一算,2样都不会的有的有多少人
- 总理见了我说:“我今晚要批这些文件.你们送来的稿子,我放在最后.” 改为第三人称转述
- 治世不一道,便国不必法古是哪个学派的思想主张
- do you know the _____ girl from the left in the row .(one)
- 36乘6分之11乘44分之7 简便方法
- 《桃花源记》中的成语