如果展开（1+x)^2*(1-x+x^2)^k,x^2的系数是3,那么自然数k的值是( ) A 2 B 3 C 4 D 5

题目

如果展开（1+x)^2*(1-x+x^2)^k,x^2的系数是3,那么自然数k的值是( ) A 2 B 3 C 4 D 5

答案

解法一：
(1+x)^2·(1-x+x^2)^k =(1+2x+x^2)·[1+(x^2-x)]k,其中x^2系数必与[1+(x^2-x)]^k中x^0,x^1,x^2系数有关.又由 (1-x+x2)^k的通项得：x^0的系数为1,x的系数为-k,x^2的系数为（k+k（k-1）/2）,再与x^2+2x+1中的系数相乘,1+2*(-k）+（k+k（k-1）/2）=3,得 k^2-3k-4=0∴ k1=4,k2=-1 (舍).
解法二：
设f（x）=（1+x)^2*(1-x+x^2)^k,由题意得,该式的展开式中有3x^2这一项,则f（0）的二阶导数等于6,即f‘‘（0）=6.此时要求复函数导数,高中生不宜用此法,请看解法三.
解法三：
设f（x）=（1+x)^2*(1-x+x^2)^k,由于（1+x)*(1-x+x^2)=1+x^3,则f（x）=（1+x^3）^2*(1-x+x^2)^（k-2）,前一项g（x）=（1+x^3）^2展开与x^2项无关,则只需算出后一项h（x）=(1-x+x^2)^（k-2）中的平方项即可.由于是选择题,此时直接代入答案也很简单.当然,也可用导数方法算出h’’（0）=6时的k值.得（k+1）*（K-4)=0,K=4.
综上所述,方法三就简单!答案C!