微元法求绳的张力

题目

微元法求绳的张力

答案

我来回答你把,虽然之有15分...
先看绳子微元的受力分析图,这是个空间上的受力分析



为了方便画图,我取最右边一小段（红色）的绳子作为微元


受力分析：
紫色：来自球面的支持力,这个力垂直于球面,所以从球心发出
红色：绳微元的重力
蓝色：身子由于拉升产生的绳内张力,大小由虎克定律决定,和绳子的总长度变化相关


想求弹力常数K,又已经知道绳子的伸长,因此必须知道弹力大小
弹力的大小,由空间力的平衡来求,在弹力这个平面上,也就是顶端圆面上,只有支持力N的分力,而大小位置,因此需要先求出N的大小,N的大小可以通过重力方向上的力学平衡得出,重力已知,因此可以求解


解题步骤：
1,在重力方向列力的平衡,有 mg = Ncosa
 m为绳的微元质量,角a的大小可以通过几何关系求出 ：
sin a = 圆截面半径/球半径 = b/R = 二分之根号二
所以 a = 45度,因此 N = mg/cos45 = √2 mg, 
N在圆截面上的投影大小为 Nsina =mg 


2,在圆截面方向列力的平衡：
设绳微元的张力为F,从顶端俯瞰截面圆,再来个图：

力的平衡给出

2F sinb = N sina = mg
注意m是微元绳子的质量,因此m = (2b/2pi)*M

所以有 F = (b/sinb) Mg/pi


同时,有 F = k Δl = k * 2pi *(b-a) = k*pi*(√2-1)R
于是得到  k = F/[pi*(√2-1)R],代入 F =  (b/sinb) Mg/pi
得到 k = (b/sinb) * Mg/(2*pi平方) / [(√2-1)R]
 注意,由于是绳的微元,因此b无穷小
b/sinb 这个表达式在b ->0的时候,极限为1
同时把 带根号的分母有理化,上下同时乘以√2+1)
得到最后的结果


k = Mg/(R*pi平方) * (√2+1)/2
有问题可以来追问~