已知函数f(x)是定义（0,正无穷大）上的函数.且满足f(xy)=f(x)+f(y).f(2分之根号2）=1.若f(x)+f(2-x)>2

题目

已知函数f(x)是定义（0,正无穷大）上的函数.且满足f(xy)=f(x)+f(y).f(2分之根号2）=1.若f(x)+f(2-x)>2
希望能把大致过程写出来.
求X 的取值范围

答案

sqr 代表根号,令x=y=sqr(2)/2则f(1/2)=f(sqr2*sqr2)=f(sqr(2)/2)+f(sqr(2)/2)=2
所以 f(x)+f(2-x)=f(x(2-x))>f(1/2)
即f(x(2-x))-f(1/2)>0;
得 f((x(4-2x)/2)-f(1/2)>0;
令X=1/2,Y=x(4-2x)得f(XY)-f(X)>0;
由题目条件得 f(Y)>0即f(x(4-2x))>0
又f(x)是定义（0,正无穷大）上的函数
所以 x(4-2x)>0,即可得到答案