已知函数f(x)=alnx-bx2图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2,若方程f(x)+m=0在区间[1/e,e]内有两个不等实根,则实数m的取值范围是_(其中e为自然对
题目
已知函数f(x)=alnx-bx
2图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2,若方程f(x)+m=0在区间[
,e]内有两个不等实根,则实数m的取值范围是______(其中e为自然对数的底数).
答案
函数f(x)=alnx-bx
2的导数f′(x)=
-2bx,
由切线方程得f′(2)=
-4b,f(2)=aln2-4b.
∴
-4b=-3,且aln2-4b=-6+2ln2+2=2ln2-4.
解得a=2,b=1.
则f(x)=2lnx-x
2,令h(x)=f(x)+m=2lnx-x
2+m,
则h′(x)=
-2x,令h'(x)=0,得x=1(x=-1舍去).
在[
,e]内,当x∈[
,1)时,h'(x)>0,即h(x)是增函数;
当x∈(1,e]时,h'(x)<0,即h(x)是减函数.
则方程h(x)=0在[
,e]内有两个不等实根的充要条件是
,
即1<m≤2+
.
故答案为:(1,2+
].
对函数f(x)进行求导,根据f'(2)=-3得到关于a、b的关系式,再将x=2代入切线方程得到f(2)的值从而求出a,b,再确定函数f(x)的解析式,进而表示出函数h(x)后对其求导,根据单调性与其极值点确定关系式得到答案.
利用导数研究曲线上某点切线方程.
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,同时考查导数的几何意义,考查运算能力,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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