若三角形ABC的边长分别是a,b,c,且b²＋2ab＝c²＋2ac试判断三角形ABC的形状

题目

若三角形ABC的边长分别是a,b,c,且b²＋2ab＝c²＋2ac试判断三角形ABC的形状

答案

b^2+2ab=c^2+2ac
b2-c2=2a(c-b)
(b-c)(b+c)=-2a(b-c),
假设b>=c
左边 (b-c)(b+c)>=0,右边-2a(b-c)<=0
因为b+c>0,a>0,
只可能 b-c=0
b-c=0,b=c,等腰
即 原三角形为等腰三角形

b²+2ab+a²=c²+2ac+a² （等式两边同时加上a²）
b+a= c+a(完全平方公式 ,a,b,c 为正实数,负数舍去）
b= c （等式两边同时减去a ）
所以△ABC为等腰三角形