已知函数f（x）=x|x-2|． （1）写出f（x）的单调区间； （2）解不等式f（x）＜3．

题目

已知函数f（x）=x|x-2|．
（1）写出f（x）的单调区间；
（2）解不等式f（x）＜3．

答案

（1）∵f（x）=x|x-2|=

x2−2x (x≥2) −x2+2x(x＜2)

，
∴f（x）在（-∞，1]，[2，+∞）上单调递增，在[1，2]上单调递减，
∴f（x）的增区间为（-∞，1]，[2，+∞）；减区间为[1，2]；
（2）若x≥2，f（x）＜3⇔x²-2x＜3，解得2≤x＜3；
若x＜2，f（x）＜3⇔-x²+2x＜3，即x²-2x+3=（x-1）²+2＞0恒成立，
∴x＜2满足题意．
综上所述，不等式f（x）＜3的解集为{x|x＜3}．

（1）由f（x）=x|x-2|=

x2−2x (x≥2) −x2+2x(x＜2)

即可写出f（x）的单调区间；
（2）对x分x≥2与x＜2分别解不等式f（x）＜3，取两者的并集即可．

本题考点：带绝对值的函数；函数的单调性及单调区间；一元二次不等式的应用．

考点点评：本题考查带绝对值的函数，关键是通过分类讨论去绝对值符号，着重考查二次函数的性质及应用，属于中档题．