椭圆C的中心在坐标原点O,短轴长为2,长轴长为2a(a>0),左焦点为F(-c,0)(c>0),直线ll:x=-a^2/c与x轴交于点P,且向量FO的模=3倍的向量PF的模.
题目
椭圆C的中心在坐标原点O,短轴长为2,长轴长为2a(a>0),左焦点为F(-c,0)(c>0),直线ll:x=-a^2/c与x轴交于点P,且向量FO的模=3倍的向量PF的模.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线(2m+1)x+(3-m)y-2n-1=0(m≠3)与椭圆C交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为A'.试问当m变化时,直线A'B是否过x轴上的定点?若是,写出定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
修改(2m+1)x+(3-m)y-2m-1=0(m≠3)
答案
(1)根据题意得c=3(a^2/c-c),得出x^2/4-y^2=1.
(2)由题意得直线(2m+1)x+(3-m)y-2n-1=0(m≠3)过定点(1,0),所以直线可表示为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),A'(x1,-y1).将y=k(x-1)带入x^2/4-y^2=1,得(1+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-4=0,所以x1+x2=8k^2/(1+4k^2),x1x2=4k^2-4/(1+4k^2).A'B直线的方程表示为y=(y2+y1)(x-x2)/(x2-x1)+y2,将y=0代入,化简x=[2x1x2-(x1+x2)]/(x1+x2-2),最后将x1+x2=8k^2/(1+4k^2),x1x2=4k^2-4/(1+4k^2)代入化简,得x=4,所以过定点(4,0).眼睛看花了.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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