如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝6，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC． （Ⅰ）求证：PA⊥BC； （Ⅱ）求PC的长度； （Ⅲ）求二面角P-AC-B的大小．

题目

如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝

6

，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．

（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）求PC的长度；
（Ⅲ）求二面角P-AC-B的大小．

答案

（Ⅰ）证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，
且BC⊥AB，

∴BC⊥平面PAB．（3分）
∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC．（4分）
（Ⅱ）∵PA＝PB＝

6

，PA⊥PB，∴AB＝2

3

．
∵AB⊥BC，∠BAC=30°，∴BC=AB•tan30°=2．（7分）
∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴PC＝

PB2+BC2

＝

10

．（9分）
（Ⅲ）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM．∵平面PAB⊥平面ABC，
∴PO⊥平面ABC，根据三垂线定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．（12分）
在Rt△AMO中，OM＝AO•sin30°＝

AO

2

，
易知AO=PO，
∴tanPMO＝

PO

OM

＝

AO

OM

＝2，（13分）
即二面角P-AC-B的大小是arctan2（14分）

（1）证明由面面垂直的性质BC⊥PA，又AB⊥BC，得到BC⊥平面PAB，进而证明PA⊥BC；
（2）先求AB，再求BC，用勾股定理计算PC的长度；
（3）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，证明，∠PMO是二面角P-AC-B的平面角，在Rt△AMO中，求出 PO 和OM，可求∠PMO的正切值．

本题考点：空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：本题考查空间2条直线的位置关系，二面角的平面角的求法．