是否存在公差不为0的等差数列,使对任意正整数n,Sn/S2n为常数?若存在,求出这个数列,

题目

是否存在公差不为0的等差数列,使对任意正整数n,Sn/S2n为常数?若存在,求出这个数列,

答案

设首项为a1,公差为d,利用公式Sn=na1+n(n-1)d/2则
Sn/S2n=[2a1+(n-1)d]/{2[2a1+(2n-1)d]}
先利用特殊值法,取n=1和2时,得到S1/S2=S2/S4.再化简,得d＝2a1.
再将d＝2a1代入上式,可得Sn/S2n＝1/4.故知d＝2a1为正确答案.