设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点在直线y=-1上.若△ABC是直角三角形，则Rt△ABC面积的最大值是（　　） A.1 B.

题目

设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点在直线y=-1上.若△ABC是直角三角形，则Rt△ABC面积的最大值是（　　）
A. 1
B.

3

C. 2
D. 3

答案

设y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c2=（-x1）x2=-x1x2（射影定理的逆定理），由根与系数的关系得，x1+x2=-ba，x1...

先根据已知条件设出抛物线与x轴的交点，由射影定理的逆定理可求出c²=（-x₁）x₂=-x₁x₂，由根与系数的关系及抛物线的顶点坐标可求出4a=4+b²，且a≥1，再由三角形的面积公式及a的取值范围可求出其最大面积．

本题考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；三角形的面积．

考点点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点、三角形的面积公式及根与系数的关系，有一定的综合性，但难度适中．