求证:等轴双曲线上任意一点到对称中心的距离,是他到两焦点距离的等比中项

题目

求证:等轴双曲线上任意一点到对称中心的距离,是他到两焦点距离的等比中项

答案

假设该双曲线是x^2-y^2=a^2,则可知双曲线的离心率e=√2.便于研究,我们可以设一点P(x0,y0)在双曲线的右支,且在第一象限.双曲线的对称中心就是O点嘛,双曲线左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),则向量PF1=(-c-x0,-y0),向量PF2=(c-x0,-y0),则向量PF1*向量PF2=x0^2+y0^2-c^2,由双曲线方程可得x0^2+y0^2-c^2=2x0^2-3a^2.焦半径PF1=ex0+a,焦半径PF2=ex0-a,点F1、O、F2三点共线,且O是线段F1F2的中点,于是就有向量PO=1/2*(向量PF1+向量PF2),做好这些准备工作后就可以开始解题了.
(线段PO)^2=(向量PO)^2=1/4*(向量PF1+向量PF2)^2=1/4[(向量PF1)^2+(向量PF2)^2+2(向量PF1)*(向量PF2)]=1/4[(ex0+a)^2+(ex0-a)^2+2x0^2-3a^2]=1/4(8x0^2-4a^2)=2x0^2-a^2=(√2x0+a)(√2x0-a)=(ex0+a)(ex0-a)=焦半径PF1*焦半径PF2,即得证.
此法属向量法,过程其实不难,主要用到向量的一个结论和双曲线的焦半径,以及和等轴双曲线的离心率是√2来解题,可能有些复杂,但思路十分清晰,应该能看得懂吧.