初三的一元二次分式方程

题目

初三的一元二次分式方程
关于x的方程 2k/(x-1) = x/(x^2-x) + (kx+1)/x 只有一个解,求k及方程的解.

答案

2k/(x-1) = x/(x^2-x) + (kx+1)/x
2k/(x-1)-x/x(x-1)=(kx+1)/x
两边乘x(x-1)
2kx-x=(kx+1)(x-1)
kx^2-kx+x-1=2kx-x
kx^2-(3k-2)x-1=0
若k=0,则2x-1=0,x=1/2,不是增根
若k不等于0
判别式=9k^2-12k+4+8k=9k^2-4k+4=9(x-2/9)^2+32/9>0
所以有两个不同的根
则应该有一个是增根
即x(x-1)=0,x=0,x=1
x=0,kx^2-(3k-2)x-1=0,-1=0,不成立
x=1,k-3k+2-1=0,k=1/2
由韦达定理,x1x2=-1/k
1*x2=-2
x2=-2
所以
k=0,x=1/2
k=-1/2,x=-2