已知l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线. (1)求证:D1B1∥l;(2)若AB=a,求l与D1间的距离.
题目
已知l是过正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1的顶点的平面AB
1D
1与下底面ABCD所在平面的交线.
(1)求证:D
1B
1∥l;
(2)若AB=a,求l与D
1间的距离.
答案
(1)证明:在正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,D
1B
1∥BD,
∵BD⊂平面ABCD,D
1B
1⊄平面ABCD
∴D
1B
1∥平面ABCD.
又∵平面ABCD∩平面AD
1B
1=l,
∴D
1B
1∥l.
(2) 在平面ABCD内,由D作DG⊥l于G,连接D
1G,
在正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,得 D
1D⊥平面ABCD,
∴D
1D⊥l,∵D
1D∩DG=D,∴l⊥平面D
1DG
∴D
1G⊥l,即D
1G的长即等于点D
1与l间的距离.
∵l∥D
1B
1∥BD,∴∠DAG=45°.
∴DG=
a,在直角三角形D
1DG中,
则有 D
1G=
=
=
a.
(1)先证明由D1B1∥BD证明D1B1∥平面ABCD,再由线面平行的性质定理证明D1B1∥l.
(2)利用正方体ABCD-A1B1C1D1中线面垂直,作出并证明过点D1与l垂线,在直角三角形中求出.
["\u7a7a\u95f4\u4e2d\u76f4\u7ebf\u4e0e\u76f4\u7ebf\u4e4b\u95f4\u7684\u4f4d\u7f6e\u5173\u7cfb","\u70b9\u3001\u7ebf\u3001\u9762\u95f4\u7684\u8ddd\u79bb\u8ba1\u7b97"]
本题考查了平行判定与性质定理的应用,用于线线平行于线面平行的转化;求距离时考查了线面垂直和线线垂直的相互转化,利用了线面垂直定义及判定定理.
举一反三
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