圆锥体积的那个1/3 如何在数学上证明

题目

圆锥体积的那个1/3 如何在数学上证明
可能要用微积分吧,讲一讲基本步骤
就是为什么是1/3而不是1/4呢？

答案

很简单,设圆锥的底面半径是R,高是H
以圆锥顶点为原点,以圆锥的中心线为x轴建立坐标系
则距离原点x处的截面半径是xR/H
圆锥的体积可用积分表示为
S=∫(0,H)π(xR/H)²dx,积分范围是(0,H)
=∫(0,H)πx²R²/H²dx
=[πx³R²/(3H²)](0,H)
=[πH³R³/(3H²)]-[π×0×R²/(3H²)]
=πR²H/3
即圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的3分之1