证明连续型随机变量 X 的特征函数φ(u)为实函数的充要条件是：它的密度函数地f(x)是对称的,即f(x)=f(-x).

题目

证明连续型随机变量 X 的特征函数φ(u)为实函数的充要条件是：它的密度函数地f(x)是对称的,即f(x)=f(-x).

答案

φ(u)=∫(-∞→+∞)e^(iux)f(x)dx=∫(-∞→+∞)[cos(ux)+isin(ux)]f(x)dx=∫(-∞→+∞)cos(ux)f(x)dx+i∫(-∞→+∞)sin(ux)f(x)dx①;②充分性:当f(x)=f(-x)时,-sin[u(-x)]f(-x)=sin(ux)f(x),所以sin(ux)f(x)为x的奇...