求函数z=x^2-2y^2;在闭域x^2+y^2小于等于4上的最大值与最小值

题目

求函数z=x^2-2y^2;在闭域x^2+y^2小于等于4上的最大值与最小值

答案

求函数z=x²-2y²;在闭域x²+y²≤4上的最大值与最小值
令∂z/∂x=2x=0,得x=0；令∂z/∂y=-4y=0,得y=0；(0,0)是函数z=x²-2y²在园域x²+y²≤4内的
唯一驻点,对应的函数值是0；函数z=x²-2y²在园域的周边上,用x²=4-y²代入得z=4-y²-2y²
=4-3y² ≤4.再用y²=4-x²代入得z=x²-2(4-x²)=3x²-8≥-8；故函数z=x²-2y²在园域x²+y²≤4上的最小
值为-8,最大值为4.