高数 微分中值定理一道题

题目

高数 微分中值定理一道题
描述:设f(x)在[-a,a]上连续,在(-a,a)
内可导,且f(-a)=f(a),a>0.证明在(-
a,a)内至少存在一点θ,使得f
'(θ)=2θf(θ).( ' 指导数)

答案

做辅助函数
F(x) = lnf(x) - x^2,
则 F(x) 在 [-a,a] 上连续,在 (-a,a) 内可导,且
F(-a) = F(a),
据Rolle定理,在(-a,a) 内至少存在一点θ,使
F‘(θ) = 0,
即
f'(θ)=2θf(θ),
得证.