设实数x,y,满足3≤xy²≤8,4≤x²／y≤9,则x³÷y∧4的最大值是多少

题目

设实数x,y,满足3≤xy²≤8,4≤x²／y≤9,则x³÷y∧4的最大值是多少
求的是x的三次方与y的四次方的比值的最大值,

答案

3≤xy²≤8 （1）
4≤x²／y≤9 （2）
由（1）（2）,可以得出x>0,y>0
从而 (1)可化为
1/8≤1/(xy²)≤1/3 (3)
(2)两边平方得
16≤x⁴/y²≤81 (4)
(3)×(4),得
2≤x³/y⁴≤27
从而 x³/y⁴的最大值为27
注：本题的解题思路是将x³/y⁴表示成xy²和x²/y的因式的组合.即
设 x³/y⁴=(xy²)^m·(x²/y)^n,解得 m=-1,n=2,从而 得以上解法.