椭圆X^2/25+Y^2/9=1上不同三点A(x1,y1),B(4,9/5),C(x2,y2)与焦点F(4.0)的距离成等差数列,求证ac的垂直平分线过定点

题目

椭圆X^2/25+Y^2/9=1上不同三点A(x1,y1),B(4,9/5),C(x2,y2)与焦点F(4.0)的距离成等差数列,求证ac的垂直平分线过定点

答案

由已知三距离成等差数列 |AF|-|BF|=|BF|-|CF| ,得：
2*|BF|=|AF|+|CF| → 2*9/5=[ (x1-4)^2 + y1^2 ]^(1/2) + [ (x2-4)^2 + y2^2 ]^(1/2)
因为(x1,y1),(x2,y2)在圆上,x1^2/25+y1^2/9=1,x2^2/25+y2^2/9=1,带入上面方程得：
2*9/5 = [ (25-4*x1)^2/25 ]^(1/2) + [ (25-4*x2)^2/25 ]^(1/2)
2*9/5 = [ 50 - 4(x1+x2) ]/5
∴ x1+x2=8 ；①
又∵ y1^2-y2^2=(-9/25)*(x1^2-x2^2)=(-72/25)*(x1-x2)
∴ －(x1-x2) / (y1-y2) = (25/72)*(y1+y2) ②
AC的垂直平分线过AC中点[ (x1+x2)/2,(y1+y2)/2 ],且与AC垂直,其方程可表示为：
y = [－(x1-x2) / (y1-y2) ] * [ x－(x1+x2)/2 ] + (y1+y2)/2 根据①、②式可得：
y = (25/72)*(y1+y2) * [ x－64/25 ]
所以,AC垂直平分线必过 ( 64/25,0 ) 点.