设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）求函数f（x）的最小值．

题目

设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）求函数f（x）的最小值．

答案

f（x）=

-x-5(x＜- 1 2 ) 3x-3(- 1 2 ≤x≤4) x+5(x＞4)

（1）①由

-x-5＞2 x＜- 1 2

，解得x＜-7；
②

3x-3＞2 - 1 2 ≤x≤4

，解得

5

3

＜x≤4；
③

x+5＞2 x＞4

，解得x＞4；
综上可知不等式的解集为{x|x＜-7或x＞

5

3

}．
（2）如图可知f（x）_min=-

9

2

．

根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|-|x-4|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，画出函数函数f（x）的图象，根据图象求得函数f（x）的最小值．

本题考点：绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．

考点点评：考查了绝对值的代数意义，去绝对值体现了分类讨论的数学思想；根据函数图象求函数的最值，体现了数形结合的思想．属中档题．