函数f(x)=ax的平方+bx+c(a不等于0）在什么条件下为偶函数,在什么条件下,为奇函数

题目

函数f(x)=ax的平方+bx+c(a不等于0）在什么条件下为偶函数,在什么条件下,为奇函数

答案

可以从几何直观出发考虑,偶函数关于y轴对称,如果是抛物线的话,要求对称轴就是y轴即可,表达式：a不等于0,且-b/2a=0即b=0.
如果不是抛物线,亦a=0的话,图像应该是一次函数或常函数,排除一次函数,只有常函数关于y轴对称,所以a=0且b=0,c属于全体实数.
奇函数关于原点对称,抛物线排除,一次函数只要过原点就一定关于原点对称,即a=0,b不等于0,c=0.常函数要成为奇函数,只有a=0,b=0,c=0一种情况,此时函数表达式为y=0,是个既奇又偶的函数.
而题目有a不等于0的条件,则只考虑抛物线即可.