已知扇形的周长为定值,问:扇形的圆心角为何值时,扇形面积有最大值

题目

已知扇形的周长为定值,问:扇形的圆心角为何值时,扇形面积有最大值
最大值是多少?

答案

解:设扇形的周长为定值L,半径为R,由弧长为:L-2R
扇形的面积为:S=1/2(L-2R)R=1/2LR-R^2
整理可得:2R^2-LR+2S=0
这是关于R的一元二次方程,要使R有解,判别式
△=L^2-16S>=0
即:S<=L^2/16,也就是说,扇形面积有最大值:S=L^2/16
此时:△=0
R=-b/(2a)=L/4 即:L=4R 此时弧长为:L-2R=4R-2R=2R
所以,圆心角为:2R/R=2
即,圆心角为2时,扇形的面积最大,最大值为:S=L^2/16