已知函数f(x)=-x³+ax²+bx在区间(-2,1)内,当x=-1是去极小值,x=2/3时取最大值(1)求函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程

题目

已知函数f(x)=-x³+ax²+bx在区间(-2,1)内,当x=-1是去极小值,x=2/3时取最大值(1)求函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程

答案

f'(x)=-3x^2+2ax+b,根据题意知,函数在x=-1和x=2/3的导数为0
注意：函数在区间内取得极值时,导数为0,本题中：3次函数没有导数不存在的点
故：-3-2a+b=0,即：2a-b=-3；又-3*(4/9)+2a(2/3)+b=0,即：4a/3+b=4/3
所以：a=-1/2,b=2.所以函数为：f(x)=-x^3-x^2/2+2x
当x=-2时,y=8-2-4=2.而f'(x)=-3x^2-x+2,故f'(-2)=-8
所以当x=-2时,过(-2,2)点的切线方程为：y-2=-8(x+2),即：8x+y+14=0