已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE． （1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①_，②_，③_，④_（不添加其它字母

题目

已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．
（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①______，②______，③______，④______（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；
（2）∠A=30°，CD=

2 3

3

，求⊙O的半径r．

答案

（1）BC⊥AB，AD⊥BD，DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD，∠BDF=∠BEF，∠A=∠E，DE∥BC等；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠A=30°，
∴BD=ABsinA=ABsin30°=

1

2

AB=r；
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBA=90°，
∴∠C=60°；
在Rt△BCD中，
CD=

2 3

3

，
∴

BD

DC

＝

r

2 3 3

=tan60°，
∴r=2．

（1）由BC是⊙O的切线，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根据DE∥BC和垂径定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等边对等角得∠E=∠EDB；再由圆周角定理得∠A=∠E，可证△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；
（2）当∠A=30°时BD=r，∠C=60°，再根据Rt△BCD中tan60°可求得r=2．

本题考点：切线的性质；直角三角形全等的判定；圆周角定理．

考点点评：本题利用了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．