证明不等式：当x大于e时,e的x次方大于x的e次方

题目

证明不等式：当x大于e时,e的x次方大于x的e次方

答案

证明：
设函数f(x)=e^x-x^e
则 f`(x)=e^x-ex^(e-1)
当x=e 时 f'(e)=e^e-e*e^(e-1)=e^e-e^e=0
即 f (x)在x=e点有极值
又∵f ‘ ’(x)=e^x-e(e-1)x^(e-2)
当x=e时 f ‘ ’(e)=e^e-e(e-1)e^(e-2)=e^e-e^(1+1+e-2)+e^(1+e-2)=e^(e-1)>0
∴f(x)在x=e点取的是极小值
∴ 当x>e时 f'(x)>0,f(x) 单调增
∵ f(e)=e^e-e^e=0
因此 当x>e 时 f(x)>0
即 e^x > x^e