设A是n阶方阵,证明齐次线性方程组AX=0与(A^T)AX=O是同解方程组.

题目

设A是n阶方阵,证明齐次线性方程组AX=0与(A^T)AX=O是同解方程组.

答案

A是实方阵吧.
证明:记A'=A^T
(1)设X1是AX=0的解,则AX1=0
所以A'AX1=A'(AX1)=A'0=0
所以X1是A'AX=0的解.
故 Ax=0 的解是 A'AX=0 的解.
(2)设X2是A'AX=0的解,则A'AX2=0
等式两边左乘 X2'得 X2'A'AX2=0
所以有 (Ax2)'(Ax2)=0
所以 AX2=0.[长度为0的实向量必为0向量,此时用到A是实矩阵]
所以X2是AX=0的解.
故A'AX=0的解是AX=0的解.
综上知齐次线性方程组AX=0与A'AX=O是同解方程组.