已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于B（-2,0）,C（4,0）两点

题目

已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于B（-2,0）,C（4,0）两点
点E是对称轴l与x的交点.（1）求二次函数的解析式；（2）T为对称轴l上一动点,以点B为圆心,BT为半径作圆B,写出直线CT与圆B相切时,求T点的坐标；（3）若在x轴上方的P点为抛物线上的动点,且角BPC为锐角,直接写出PE的取值范围（4）对于（1）中得到的关系式,若x为整数,在使得y为完全平方数的所有x的值中,设x的最大值为m,最小值为n,次小值为s,（注：一个数如果是另一个整数的完全平方,那么就称这个数为完全平方数.）求m,n,s的值

答案

（1）由于抛物线的图象经过B（-2,0）,C（4,0）两点,则有：
-4-2b+c=0
-16+4b+c=0
解得 b=2 c=8；
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x+8．
（2）易知抛物线的对称轴为：x=1；
设点T（1,m）,
则直线BT的斜率：k1=m/3 ,直线CT的斜率：k2=m/-3 ；
若⊙B与CT相切,则有：
m/3*m/-3=-1
解得m=±3；
故T（1,3）或（1,-3）
（3）
以E为圆心,BC长为直径作圆,交抛物线于M、N两点；
由圆周角定理知：∠BMC=∠BNC=90°,
此时ME=NE= BC/2=3；
若∠BPC是锐角,那么点P必在M、N之间的抛物线图象上,故PE＞3；
易知抛物线的顶点坐标为：（1,9）,
当点P运动到抛物线的顶点位置时,PE的长最大,且此时PE=9；
综上可知,PE的取值范围为：3＜PE≤9．
（4）
由y=-x2+2x+8,故关于x的一元二次方程x2-2x+（y-8）=0有整数解,
因此△x=4-4（y-8）=-4y+36是完全平方数,且△x=-4y+36≥0,
则y≤9,又y是一个完全平方数,
所以,y只能为0,1,4,9；
分别代入方程x²-2x+（y-8）=0,又x为整数,
解得
x=4 y=0;
x=-2 y=0;
x=1 y=9;
因此m=4、n=-2、s=1