L是椭圆(x^2/9)+(y^2/4)=1,取逆时针方向,∮L(y+x^2)dx+(3x-y^2)dy等于

题目

L是椭圆(x^2/9)+(y^2/4)=1,取逆时针方向,∮L(y+x^2)dx+(3x-y^2)dy等于
在草稿纸上怎么写的最好一起写下来,

答案

令P=y+x^2,Q=3x-y^2
则αP/αy=1,αQ/αx=3 (αP/αy和αQ/αx表示偏导数)
于是,根据格林公式得
∮(y+x^2)dx+(3x-y^2)dy=∫∫(αQ/αx-αP/αy)dxdy (S表示L所围成的椭圆区域)
=∫∫(3-1)dxdy
=2∫∫dxdy
=2(2*3π) (∫∫dxdy是椭圆面积,椭圆面积=长半轴×短半轴×π)
=12π.