(1)有n个整数,其和为零,其积为n.求证:n是4的倍数; (2)设n是4的倍数,求证:可以找到n个整数,其积为n,其和为零.

(1)有n个整数,其和为零,其积为n.求证:n是4的倍数; (2)设n是4的倍数,求证:可以找到n个整数,其积为n,其和为零.

题目
(1)有n个整数,其和为零,其积为n.求证:n是4的倍数;
(2)设n是4的倍数,求证:可以找到n个整数,其积为n,其和为零.
答案
证明:(1)设n个整数为a1,a2,…,an,由题意得,
a1a2…an=n,a1+a2+…+an=0;
如果n为奇数,那么a1,a2,…,an均为奇数,于是a1+a2+…+an是奇数个奇数的和,不可能为0,所以n必为偶数,从而a1,a2,…,an中至少有一个是偶数;
又若a1,a2,…,an中只有一个偶数,设为a1,则a2+a3+…+an是奇数个(n-1个)奇数之和,故必为奇数,从而a1+a2+…+an是奇数,与a1+a2+…+an=0矛盾;
故a1,a2,…,an中至少有两个偶数,所以n=a1a2…an能被4整除.
(2)设n=4k.
当k为奇数时,n=2•(-2k)•13k-2•(-1)k,而2,-2k,(3k-2)个1与k个-1共4k个数之和为零;
当k为偶数时,n=(-2)(-2k)•13k•(-1)k-2,而-2,-2k,3k个1与(k-2)个-1共4k个数之和为零.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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