若(a^2+b^2)/(1+a×b)为整数,则它是平方数

若(a^2+b^2)/(1+a×b)为整数,则它是平方数

题目
若(a^2+b^2)/(1+a×b)为整数,则它是平方数
证明:若非负整数a,b使(a^2+b^2)/(1+a×b)为整数,则它是完全平方数
答案
若(a^2+b^2)/(1+ab)为整数,则它是平方数
证明 反证法,假设(a^2+b^2)/(1+ab)=k为整数,但k不是平方数,由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k=0,设(a,b)是使上式成立的所有整数对中使a+b最小的,不妨设a≥b,对确定的b,k,考虑2次方程a^2+b^2-kab-k=0,a是它的一个解,x是它的另一个解,由a+x=kb,ax=b^2-k可知,x也是整数,由k不是平方数得x不等于零,如果xb^2>0,这是不可能的,故x>0,于是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k=0式成立的整数对,由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a,b^2-k≥a^2,这与a≥b矛盾.证毕.
我尝试了几组
b=0,(a^2+b^2)/(1+ab)=a^2,对任意a命题成立.
b=1,(a^2+1)/(1+a)=1+a-2a/(1+a),如果该式为整数,则1+a必整除2,a=1,此时该式等于1,故命题也成立.
如果b>2,取a=b^3,则(b^8+b^2)/(1+b^4)=b^2
(8^2+2^2)/(1+16)=68/17=4
(27^2+3^2)/(1+81)=738/82=9
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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