如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC,BD=CE,M是AC边的中点, 求证:△DEM是等腰三角形.

如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC,BD=CE,M是AC边的中点, 求证:△DEM是等腰三角形.

题目
如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC,BD=CE,M是AC边的中点,
求证:△DEM是等腰三角形.
答案
证明:连接BM,
因为AB=BC,AM=MC,
所以BM⊥AC,且∠ABM=∠CBM=
1
2
∠ABC=45°,
因为AB=BC,
所以∠A=∠C=
180°−∠ABC
2
=45°,
所以∠A=∠ABM,所以AM=BM,
因为BD=CE,AB=BC,所以AB-BD=BC-CE,即AD=BE,
在△ADM和△BEM中,
AD=BE
∠A=∠EBM=45°
AM=BM

所以△ADM≌△BEM(SAS),
所以DM=EM,
所以△DEM是等腰三角形.
根据AB=BC,AM=MC,得出BM⊥AC,且∠ABM=∠CBM=
1
2
∠ABC=45°,进而得出△ADM≌△BEM,即可得出DM=EM.

全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.

此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,根据已知得出△ADM≌△BEM是解题关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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