已知数列{An}中,A1=5,A2=2,An=2*A(n-1)+3*A(n-2),(n大于等于3）,求它的通项公式.

题目

已知数列{An}中,A1=5,A2=2,An=2*A(n-1)+3*A(n-2),(n大于等于3）,求它的通项公式.

答案

假设An-aA(n-1)=b[A(n-1)-aA(n-2)]
整理一下,变成An=(a+b)A(n-1)-abA(n-2)
与An=2*A(n-1)+3*A(n-2）对照一下,
得a+b=2,-ab=3
解得a=3,b=-1或a=-1,b=3
只取一组解即可,即：An+A(n-1)=3[A(n-1)+A(n-2)]
所以An+A(n-1)=3[A(n-1)+A(n-2)]
=3^2X[A(n-2)+A(n-3)]
.
=3^(n-2)X[A2+A1]
=3^(n-2)X7
可以带几个数试一下：
A5=189-63+21-7+A1
A6=567-189+63-21+7-A1
可以归纳出通项为An=(-1)^2X7X3^(n-2)+
(-1)^3X7X3^(n-3)+
.
(-1)^nX7X3^0+
(-1)^(n+1)XA1
而且除最后一项外组成等比数列
整理一下,并讨论：
n是偶数时,An=[7X3^(n-1)-13]/4
n是奇数时,An=[7X3^(n-1)+13]/4