(a1+a2+a3+.+an)^2=a1^2+a2^2+.+an^2+2(a1a2+a2a3+...+a(n-1)an) ;n≥2.求用数学归纳法证明

题目

(a1+a2+a3+.+an)^2=a1^2+a2^2+.+an^2+2(a1a2+a2a3+...+a(n-1)an) ;n≥2.求用数学归纳法证明

答案

证明：
(1)当n=2时,(a1+a2)^2=a1^2+a2^2+2a1a2,成立
(2)设n=k时,成立,则
(a1+a2+a3+.+ak)^2=a1^2+a2^2+.+ak^2+2(a1a2+a2a3+...+a(k-1)ak)
n=k+1时
(a1+a2+a3+.+ak+a(k+1))^2=((a1+a2+a3+.+ak)+a(k+1))^2
=(a1+a2+a3+.+ak)^2+a(k+1)^2+2(a1+a2+a3+.+ak)a(k+1)
=a1^2+a2^2+.+ak^2+a(k+1)^2+2(a1a2+a2a3+...+a(k-1)ak)+2(a1+a2+a3+.+ak)a(k+1)
=a1^2+a2^2+.+ak^2+a(k+1)^2+2(a1a2+a2a3+...+aka(k+1))
所以(a1+a2+a3+.+an)^2=a1^2+a2^2+.+an^2+2(a1a2+a2a3+...+a(n-1)an) ;n≥2,成立