直线L:Y=kx+1与椭圆C：ax^2+y^2=2(a>1)交于A,B两点,向量OP=向量OA+向量OB（O为坐标原点）若a=2,当k变化时

题目

直线L:Y=kx+1与椭圆C：ax^2+y^2=2(a>1)交于A,B两点,向量OP=向量OA+向量OB（O为坐标原点）若a=2,当k变化时

答案

2x^2+y^2=2
y=kx+1
2x^2+(kx+1)^2=2
(2+k^2)x^2+2kx-1=0
Ax+Bx=-2k/(2+k^2)
Ay+By=-2k^2/(2+k^2)+2=4/(2+k^2)
Px=(Ax+Bx)=-2k/(2+k^2)
Py=(Ay+By)=4/(2+k^2)
Px=(4Px/Py)/(2+(2Px/Py)^2)
P(x,y)的轨迹方程
x=(4x/y)/(2+(2x/y)^2)
2+4x^2/y^2=4/y
y^2+2x^2=2y
即(y-1)^2+2x^2=1