在等比数列{an}中，a1•a2•a3=27，a2+a4=30． 求：（1）a1和公比q； （2）若{an}各项均为正数，求数列{n•an}的前n项和．

题目

在等比数列{a_n}中，a₁•a₂•a₃=27，a₂+a₄=30．
求：（1）a₁和公比q；
（2）若{a_n}各项均为正数，求数列{n•a_n}的前n项和．

答案

（1）由等比数列的性质可得，a₁•a₂•a₃=a23=27，
∴a₂=3
∵a₂+a₄=30
∴a₄=27
∴q2＝

a4

a2

=9
∴q=±3
∴

a1＝1 q＝3

或

a1＝−1 q＝−3

（2）由a_n＞0可得

a1＝1 q＝3

，an＝3n−1，nan＝n•3n−1
∴Sn＝1•30+2•31+3•32+…+n•3n−1
∴3S_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ
两式相减可得，-2S_n=3⁰+3¹+…+3^n-1-n•3ⁿ=

1−3n

1−3

−n•3n=

3n−1

2

−n•3n
∴Sn＝

(2n−1)•3n+1

4