(1)已知函数y=f(x)的定义域为R,且当x∈R时,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求证y=f(x)的图象关于直线x=m对称; (2)若函数y=log2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实
题目
(1)已知函数y=f(x)的定义域为R,且当x∈R时,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求证y=f(x)的图象关于直线x=m对称;
(2)若函数y=log2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a的值.
答案
(1)证明:设P(s,t)是y=f(x)图象上任一点,则t=f(s),
又P点关于x=m的对称点为P',则P'(2m-s,t),
由已知f(m+x)=f(m-x)得,f(2m-s)=f(m+(m-s))=f(m-(m-s))=f(s)=t,
即P'在y=f(x)的图象上,
∴y=f(x)的图象关于直线x=m对称;
(2)∵函数y=log
2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,
∴log
2|a(2+x)-1|=log
2|a(2-x)-1|恒成立,
即|a(2+x)-1|=|a(2-x)-1|恒成立,
即|ax+(2a-1)|=|-ax+(2a-1)|恒成立,
∵a≠0,∴2a-1=0,即a=
.
(1)设P(s,t)是y=f(x)图象上任一点,P点关于x=m的对称点为P',运用对称知识求出P'的坐标,说明也在函数f(x)的图象上即可得证;
(2)根据(1)得到log2|a(2+x)-1|=log2|a(2-x)-1|恒成立,然后由对数知识,去对数符号,整理,由x的任意性和a不为0,即可求出a的值.
抽象函数及其应用.
本题考查函数的对称性及运用,注意设点求对称点,同时考查恒成立问题,注意转化思想.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 两个球的表面积之差是12π,大圆周长之和是6π,则两球的体积之和为?
- 要验证自来水里是否有氯离子为什么要加稀硝酸和硝酸银
- 带马字的成语 快上加快------( )
- 葡萄糖与氧气反应设计成原电池
- 体积为200立方厘米得铁球,质量是1170g,若有空心部分铸满铅,求该球总质量是多少,
- 小红读一本故事书,已读与未读的页数比是1:5,若再读30页就读完了该书,则这本书共多少页?
- Cindy标准英文怎么读
- Mike made a lot of mistakes.He was _____(careful) than Jack.
- 方程请在下列方程中选出两个方程,组成二元一次方程组:
- 《鼓励的魅力》阅读答案:
热门考点