已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5在x=-1与x=3/2处有极值. (1)写出函数的解析式; (2)求出函数的单调区间; (3)求f(x)在[-1,2]上的最值.

已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5在x=-1与x=3/2处有极值. (1)写出函数的解析式; (2)求出函数的单调区间; (3)求f(x)在[-1,2]上的最值.

题目
已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5在x=-1与x=
3
2
处有极值.
(1)写出函数的解析式;
(2)求出函数的单调区间; 
(3)求f(x)在[-1,2]上的最值.
答案
(1)f′(x)=12x2+2ax+b,依题意有f′(-1)=0,f(
3
2
)=0,
12−2a+b=0
27+3a+b=0
,得
a=−3
b=−18

所以f(x)=4x3-3x2-18x+5;
(2)f′(x)=12x2-6x-18<0,
∴(-1,
3
2
)是函数的减区间,(-∞,-1),(
3
2
,+∞)是函数的增区间;
(3)函数在[-1,
3
2
]上单调递减,在[
3
2
,2]上单调递增,
∴f(x)max=f(-1)=16,f(x)min=f(
3
2
)=-
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4
(1)首先求出函数的导数,然后f′(-1)=0,f′(32)=0,解出a、b的值,即可写出函数的解析式;(2)利用导数的正负,求出函数的单调区间;(3)确定函数在[-1,2]上的单调性,即可求f(x)在[-1,2]上的最值.

利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.

此题主要考查多项式函数的导数,函数单调性的判定,函数最值,函数、方程等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力,难度不大.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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