已知函数f（x）=4x3+ax2+bx+5在x=-1与x=3/2处有极值． （1）写出函数的解析式； （2）求出函数的单调区间； （3）求f（x）在[-1，2]上的最值．

题目

已知函数f（x）=4x³+ax²+bx+5在x=-1与x=

3

2

处有极值．
（1）写出函数的解析式；
（2）求出函数的单调区间； 
（3）求f（x）在[-1，2]上的最值．

答案

（1）f′（x）=12x²+2ax+b，依题意有f′（-1）=0，f（

3

2

）=0，
即

12−2a+b＝0 27+3a+b＝0

，得

a＝−3 b＝−18

，
所以f（x）=4x³-3x²-18x+5；
（2）f′（x）=12x²-6x-18＜0，
∴（-1，

3

2

）是函数的减区间，（-∞，-1），（

3

2

，+∞）是函数的增区间；
（3）函数在[-1，

3

2

]上单调递减，在[

3

2

，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（-1）=16，f（x）_min=f（

3

2

）=-

61

4

．

（1）首先求出函数的导数，然后f′（-1）=0，f′（32）=0，解出a、b的值，即可写出函数的解析式；（2）利用导数的正负，求出函数的单调区间；（3）确定函数在[-1，2]上的单调性，即可求f（x）在[-1，2]上的最值．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度不大．