已知函数f(x)=lnx+ax-a2x2(a∈R). (1)求f(x)的单调区间与极值. (2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是单调递减函数,求实数a的取值范围.
题目
已知函数f(x)=lnx+ax-a2x2(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间与极值.
(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是单调递减函数,求实数a的取值范围.
答案
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=+a−2a2x=
−=-
①当a=0时,f(x)=lnx,在(0,+∞)上单调递增,函数无极值;
②当a>0,令f′(x)=0,得
x1=−,
x2=,且x
1<0<x
2,当x∈(0,
)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当
x∈(,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当
x=时f(x)有极小值为
f()=ln;
③当a<0,令f′(x)=0,得
x1=−,
x2=,且x
2<0<x
1,当x∈(0,
−)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当
x∈(−,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当
x=−时,f(x)有极小值
f(−)=ln(−)−.
(2)由(1)知当a>0,时f(x)在(
,+∞)上单调递减,∴
≤1,得a≥1,当a<0时,f(x)在(
−,+∞)上单调递减,∴
−≤1,得
−≤a<0,
综上得:a的取值范围为[
−,0)∪[1,+∞).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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