设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1半焦距为c,已知原点到bx+ay=ab的距离等于根号3/4c,则双曲线的离心率为

题目

设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1半焦距为c,已知原点到bx+ay=ab的距离等于根号3/4c,则双曲线的离心率为

答案

原点(0,0)到直线bx＋ay=ab的距离是d=|ab|/√(a²＋b²)=(√3/4)c,两边平方得：a²b²=(3/16)c²(a²＋b²)=(3/16)(c²)²,即：16a²(c²－a²)=3(c²)²,展开,16a²c²－16c^4=3c^4,两边除以a^4,得：3e^4－16e²＋16=0,解得e²=4或e²=4/3,本题应该有两解.
注：本题缺少条件,原题应该是“双曲线x²/a²－y²/b²=1 (a>b>0)”,此时只有一解,就是你说的那个答案.