求过点(0,2)的直线被椭圆x2+2y2=2所截弦的中点的轨迹方程.

求过点(0,2)的直线被椭圆x2+2y2=2所截弦的中点的轨迹方程.

题目
求过点(0,2)的直线被椭圆x2+2y2=2所截弦的中点的轨迹方程.
答案
设直线方程为y=kx+2,
把它代入x2+2y2=2,
整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0.
要使直线和椭圆有两个不同交点,则△>0,即k<-
6
2
或k>
6
2

设直线与椭圆两个交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),中点坐标为C(x,y),则
x=
x1+x2
2
=
-4k
2k2+1

y=
-4k2
2k2+1
+2=
2
2k2+1

(k<-
6
2
或k>
6
2
),
从参数方程x=
-4k
2k2+1
,y=
2
2k2+1

消去k得x2+2(y-1)2=2,
且|x|<
6
2
,0<y<
1
2
设直线方程为y=kx+2,把它代入x2+2y2=2,得(2k2+1)x2+8kx+6=0,由此入手可以求出所截弦的中点的轨迹方程.

直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.

本题考查圆锥曲线的基本知识,解题时要认真审题,仔细解答.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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