求证：四个连续自然数的积加上1,一定是一个数的完全平方数

题目

求证：四个连续自然数的积加上1,一定是一个数的完全平方数

答案

设其中最小的数是x,则其余三个数是x+1,x+2,x+3
则x(x+1)(x+2)(x+3)+1
=(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1
设x^2+3x=a
则原式=a(a+2)+1
=a^2+2a+1
=(a+1)^2
=(x^2+3x+1)^2
所以四个连续自然数的积加上1,一定是一个数的完全平方数