证明根号下1/（2n+1）

题目

证明根号下1/（2n+1）<根号2*sin根号下1/（2n+1）

答案

考虑到1/√(2n + 1)总是整体出现,于是令x = 1/√(2n + 1),f(x) = √2 sin x - x.
由于n是正整数,故1/√(2n + 1) ≤ 1/√(2 + 1) = √3 /3.
而√3 /3 < π/4,故为方便起见,f(x)的定义域取为[0,π/4].
显然在[0,π/4]上有f'(x) = √2 cos x -1 ≥ 0.
故在[0,π/4]上f(x)递增,即f(x) ≥ f(0) =0.
亦即对任意x ∈(0,π/4],√2 sin x > x.
然后由于1/√(2n + 1)的值总在(0,π/4]内,因此可以将x换成1/√(2n + 1),
于是原不等式得证.