已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,的左右焦点分别为f1,f2
题目
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,的左右焦点分别为f1,f2
过f1的直线分别交双曲线的两条渐近线于PQ,若P是线段f1Q的中点,且f1Q垂直f2P则此双曲线的离心率为
答案
由双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1,得:双曲线的渐近线方程是:x/a+y/b=0、x/a-y/b=0.
考虑到对称性,不失一般性地设点P、Q分别在渐近线x/a-y/b=0、x/a+y/b=0上.
通过作图可知:P、Q都在x轴的下方,即:P、Q的纵坐标都小于0.
∵Q在渐近线x/a+y/b=0上,∴可令点Q的坐标为(at,-bt).
显然,F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0).
∴由中点坐标公式,得:P的坐标是((at-c)/2,-bt/2).
∵P在渐近线x/a-y/b=0上,∴[(at-c)/2]/a-[-bt/2]/b=0,
∴b(at-c)+abt=0,∴2at-c=0,∴t=c/(2a)=e/2.
∵F2P⊥F1Q、F1P=PQ,∴F2Q=F1F2=2c,∴F2Q^2=4c^2,
∴(at-c)^2+(bt)^2=4c^2,∴(ae/2-ae)^2+(be/2)^2=4(ae)^2,
∴a^2/4+b^2/4=4a^2,∴a^2+b^2=16a^2,∴b^2=15a^2,∴(b/a)^2=15,
∴e=c/a=√[(a^2+b^2)/a^2]=√[1+(b/a)^2]=√(1+15)=4.
∴满足条件的双曲线的离心率为4.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 对于两个有理数x,y若x-y>0,则x>y;若x-y<0,则x<y;若x-y=0
- 根号∏ —16的立方 根(结果保留三个有效数字)
- 质量为2kg的物体以5m/s的速度向南运到,质量为0.5kg的物体以10m/s的速度向西运动,这两个物体的动能相同吗?
- 2011年用英语怎么读
- 万圣节的“不给糖就捣乱”用英语怎么说
- 已知a是最小的正整数,b的相反数还是它本身,c比最大的负整数大3,计算(2a+3c)xb的值
- E,F分别是空间四边形ABCD的边BC,AD的中点,过EF且平行于AB的平面与AC交于点G,求证:
- 两辆汽车同时从A、B两地出发,3小时相遇.两地之间的公路长多少千米?
- 定语从句:the pencil ____ ____ he was writing broke
- 一个正四棱锥的表面积为2,求它体积的最大值
热门考点
- 秋天到了,为什么天空看着更清澈?
- 同学们采集植物标本和昆虫标本共84件.昆虫标本的件数是植物标本的2/5,两种标本各多少件?
- 50克氧化铜粉末和氢气加热反应,发现减少了8克固体,求已经反应掉的氧化铜质量(列式计算)
- 67×1/4+21/2×3.75−41/2×25%=_.
- 某厂第一、第二车间人数的比为3:5,从第一车间调18人到第二车间后
- 核能是不是可再生能源 请准确明确客观告诉我
- The passengers ___out of the exit when we arrive at the airport
- 轴承23128came英文字母代表什么意思
- your,lessons,you,start,do,when.连词成句
- 在he gets nervous,and he is afraid of being sent [ ] [ ] school.中 介词怎么填