已知关于x的一元二次方程a^2x^2+b^2x+c^2=0的两根之和是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根的平方和.

题目

已知关于x的一元二次方程a^2x^2+b^2x+c^2=0的两根之和是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根的平方和.
已知关于x的一元二次方程a^2x^2+b^2x+c^2=0的两根之和是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根的平方和,则a,b.c的关系是

答案

方程a^2x^2+b^2x+c^2=0的两根之和为-b^2/a^2,这是根据“根与系数的关系”
设方程ax^2+bx+c=0的两根为x1,x2,则有x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
x1^2+x2^2=(x1^2+2x1x2+x2^2)-2x1x2=(x1+x2)^2-2x1x2=(-b/a)^2-2*(c/a)=b^2/a^2-2c/a
由题意,应有-b^2/a^2=b^2/a^2-2c/a,2b^2/a^2=2c/a
两边乘以a/2,得b^2/a=c,b^2=ac
此即为所求关系